第二十章 问答（2/2）
《学霸的科幻世界》作者：幸运的球球 2020-05-09 00:05
=x^3-d^2x上有某个y \neq 0的有理点。可以证明这样的点不属于t，于是d为同余数又等价于r_d>0。（同余数问题）决定所有同余数d，使得r_d>0。对于给定素数p，(1)p \equiv 3(\mod 8)：p不是同余数但2 p是同余数；(2)p \equiv 5(\mod 8)：p是同余数；(3)p \equiv 7(\mod 8)：p和2 p都是同余数。你使用的工具是heegner点的高度理论，你是怎么将它和l'(1，e)联系起来的？还有，你是如何确定d均为同余数的？“
庞学林在三体世界的时候便经受住了那些顶尖数学家的狂轰乱炸，对付这种问题应付起来轻松异常，对答如流道：”关于e的eil-hasse函数l(s，e)的定义，一个经典结果是a_p有hasse上界2\sqrt{p}，这推出l(s，e)对\mathrm{re}\， s>\frac{3}{2}收敛。然后我们根据gross-zagier公式，就可以将其与l'(1，e)联系起来。另外，bsd猜想对e_d成立。特别的，r_d>0当且仅当l(1，e_d)=0。假定弱bsd猜想成立，则(1)理论上我们能够判定d是否为同余数；(2)tunnell定理给出在有限步内决定d是否为同余数的算法；(3)可以证明d \equiv 5，6，7(\mod 8)时r_d为奇数，故这样的d均为同余数。“
刘廷波思索了片刻，满意地点了点头，过了一会儿，他又问道：“你这里说，l(s，e)在s=1处展开的泰勒系数和e的tate-shafarevich群的阶数成正比，你是怎么得出这样的结论的？还有这里，e(q)(mordell-eil群)有自然的交换群结构，你前面根据mordell定理进一步断言e(q)是有限生成的：e(q)=\bbb z^r \oplus t，此处挠群t是某个有限abel群，r称为e的秩。我们对t的了解是完全的：mazur决定了所有15种可能的t。那么r呢？你这里是不是缺少了对r的有效刻画？“
庞学林道：“基于eichler， shimura在模椭圆曲线方面的工作以及新近证明的taniyamashimura猜想(模定理)，现在知道l(s，e)可解析延拓到整个复平面并且相应的riemann猜想成立。bsd猜想在r等于l(s，e)在s=1处零点的阶数m。在模定理已获证明的情况下，已知bsd猜想对m=0.1成立，故l(s，e)在s=1处展开的泰勒系数和e的tate-shafarevich群的阶数成正比，更进一步的话，又可以推出tate-shafarevich群的有限性。”
刘廷波沉吟了半晌，竖起大拇指道：“你从同余数问题上间接证明了bsd的弱猜想，再由此扩展成广义bsd猜想，这种办法真是绝了！”
……
接着，刘廷波与庞学林一问一答，几乎每一个问题，庞学林都能不假思索地给出答案。
时间一分一秒过去，就连王秀芳做好了晚饭，上来想要叫他们吃饭，也被庞学林与刘廷波之间的问答所吸引，看了半天后，王秀芳悄悄地退出了书房，不去打搅他们。
一直到晚上十点，刘廷波才彻底将这篇论文彻底审阅完毕，两人之间的问答也随之结束。
一旁的庞绍安和姚建中虽然跟不上两人的思路，但情绪也始终处于亢奋状态。
他们看得出来，在这一问一答中，一个世界级的难题，正在从庞学林手中徐徐解开。
这种亲眼见证一个世界级数学难题慢慢展露真颜的过程，让在场的所有人都兴奋不已。
庞绍安看着刘廷波道：“小刘，小林的证明怎么样，你觉得他成功了吗？”
刘廷波道：“庞教授，我不敢说小庞百分之百证明了bsd猜想，对这篇论文，我有**成把握。小庞，你看这样如何，你这篇论文才上传arxiv不久，我们等过一段时间，等德利涅、法尔廷斯这些大佬相继表态，我再给你在江大安排一场学术报告会，到时候应该能吸引到全世界顶级数学家与会。这段时间，你暂时不用上课了，安心为报告会做准备，ppt最好做得详细一点。“
庞学林笑道：“刘院长，上课倒没什么问题，反正距离正式开课还有几天时间，我每周也就一、三、五有课，给本科生上课，对我而言反而是一种放松。”
刘廷波想了想道：“行，那我就不勉强你了，哈哈，小庞这次多谢你了，刚回母校，就给母校先上了这样一份大礼。”
庞学林在三体世界的时候便经受住了那些顶尖数学家的狂轰乱炸，对付这种问题应付起来轻松异常，对答如流道：”关于e的eil-hasse函数l(s，e)的定义，一个经典结果是a_p有hasse上界2\sqrt{p}，这推出l(s，e)对\mathrm{re}\， s>\frac{3}{2}收敛。然后我们根据gross-zagier公式，就可以将其与l'(1，e)联系起来。另外，bsd猜想对e_d成立。特别的，r_d>0当且仅当l(1，e_d)=0。假定弱bsd猜想成立，则(1)理论上我们能够判定d是否为同余数；(2)tunnell定理给出在有限步内决定d是否为同余数的算法；(3)可以证明d \equiv 5，6，7(\mod 8)时r_d为奇数，故这样的d均为同余数。“
刘廷波思索了片刻，满意地点了点头，过了一会儿，他又问道：“你这里说，l(s，e)在s=1处展开的泰勒系数和e的tate-shafarevich群的阶数成正比，你是怎么得出这样的结论的？还有这里，e(q)(mordell-eil群)有自然的交换群结构，你前面根据mordell定理进一步断言e(q)是有限生成的：e(q)=\bbb z^r \oplus t，此处挠群t是某个有限abel群，r称为e的秩。我们对t的了解是完全的：mazur决定了所有15种可能的t。那么r呢？你这里是不是缺少了对r的有效刻画？“
庞学林道：“基于eichler， shimura在模椭圆曲线方面的工作以及新近证明的taniyamashimura猜想(模定理)，现在知道l(s，e)可解析延拓到整个复平面并且相应的riemann猜想成立。bsd猜想在r等于l(s，e)在s=1处零点的阶数m。在模定理已获证明的情况下，已知bsd猜想对m=0.1成立，故l(s，e)在s=1处展开的泰勒系数和e的tate-shafarevich群的阶数成正比，更进一步的话，又可以推出tate-shafarevich群的有限性。”
刘廷波沉吟了半晌，竖起大拇指道：“你从同余数问题上间接证明了bsd的弱猜想，再由此扩展成广义bsd猜想，这种办法真是绝了！”
……
接着，刘廷波与庞学林一问一答，几乎每一个问题，庞学林都能不假思索地给出答案。
时间一分一秒过去，就连王秀芳做好了晚饭，上来想要叫他们吃饭，也被庞学林与刘廷波之间的问答所吸引，看了半天后，王秀芳悄悄地退出了书房，不去打搅他们。
一直到晚上十点，刘廷波才彻底将这篇论文彻底审阅完毕，两人之间的问答也随之结束。
一旁的庞绍安和姚建中虽然跟不上两人的思路，但情绪也始终处于亢奋状态。
他们看得出来，在这一问一答中，一个世界级的难题，正在从庞学林手中徐徐解开。
这种亲眼见证一个世界级数学难题慢慢展露真颜的过程，让在场的所有人都兴奋不已。
庞绍安看着刘廷波道：“小刘，小林的证明怎么样，你觉得他成功了吗？”
刘廷波道：“庞教授，我不敢说小庞百分之百证明了bsd猜想，对这篇论文，我有**成把握。小庞，你看这样如何，你这篇论文才上传arxiv不久，我们等过一段时间，等德利涅、法尔廷斯这些大佬相继表态，我再给你在江大安排一场学术报告会，到时候应该能吸引到全世界顶级数学家与会。这段时间，你暂时不用上课了，安心为报告会做准备，ppt最好做得详细一点。“
庞学林笑道：“刘院长，上课倒没什么问题，反正距离正式开课还有几天时间，我每周也就一、三、五有课，给本科生上课，对我而言反而是一种放松。”
刘廷波想了想道：“行，那我就不勉强你了，哈哈，小庞这次多谢你了，刚回母校，就给母校先上了这样一份大礼。”