第二十一章 上课（2/2）

    “从某种程度上说，抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。所以，抽象代数虽然是基础课，但对于大家未来不管在学术领域还是应用领域，都有着非常重要的作用。“

    “不过抽象代数概念繁杂，理解起来难度很大，如果按照教科书中直接从概念开始讲，我估计大家都会感觉很茫然。但是抽象代数既然有代数这两个字，那么肯定和解方程有关，今天这节课，我就先从方程的求解史开始讲起。“

    “方程在数学史上的地位很高，早在公元前两千多年，古巴比伦时期的人们就已经会列一元一次方程了，即ax+b=0。不用我说，大家都应该知道，它的求根公式是-b/a。但在古巴比伦时期，那时候只有整数，那古人怎么理解b/a呢？于是就引入了分数这个概念，分数和整数加在一起，统称有理数。“

    “不仅如此，古巴比伦人还会列一元二次方程，即ax^2+bx+c=0，但这类方程古巴比伦人没有研究透，只能给出一些特定的整数解和分数解。等到了古希腊毕达哥拉斯学派，他们虽然没有发现一元二次方程的根解式，但却发现了一些特定方程的解。比如说在研究勾股定理的时候，他们发现，边长为1的正方形，它的对角线长度可以列方程求解。”

    庞学林起身在黑板上写下：1^2+1^2=x^2，x=√2。

    “于是为了求解一元二次方程，引入了无理数。但大家有没有发现，这里没有它的负根，原因很简单，欧洲人认为负数没有意义，一直到十七世纪牛顿、莱布尼茨时期，他们才接受了负数的概念。而在中国，早在公元前的先秦时期，就有了负数的概念，这个就和文化传统有关了……”

    “一元二次方程的根解式，最早是由公元八世纪波斯数学家花拉子米给出来的，不过他也只给出了正根，后来他的这个解法传到欧洲，在负数的概念引入之后稍加改良，就是我们现在知道的一元二次方程根解式了。”

    庞学林顿了顿，拿起讲台上的一瓶矿泉水润了润嗓子。

    原本安静的教室响起一阵嗡嗡嗡的议论声，今天有不少学生压根不是数学系的人，都是来看个热闹，膜拜一下学神，却没想到，庞学林讲起课来并没有让大家觉得生涩，反而有种不疾不徐，信手拈来的感觉。

    这让众人很惊奇。

    毕竟，很多大牛学术很强，但授课的时候表现得却并不怎么样，要么照本宣科，要么晦涩难懂。

    反而庞学林将数学史掰开来讲，给众人一种耳目一新的感觉。

    庞学林没理会下方的喧闹，继续道：

    “有了根解式，只要随便把系数代入进去，就可以轻松求解，所以数学家就开始相继寻找三次方程、四次方程的根解式。”

    “三次方程的根解式由十六世纪文艺复兴时期意大利数学家费罗和塔尔塔利亚给出，费罗给出了x^3+px=q的根解式，这里你或许会觉得这个三次方程不具备一般意义，但是假如将p和q用复数表示的话，所有三次方程都可以用这种形式表示。但那时候还没有复数的概念，所以意大利另一位数学家塔尔塔利亚给出了一般一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的根解式，也就是所谓的卡尔丹诺公式……“

    庞学林起身在黑板上用粉笔刷刷刷地写，费了一大半的黑板，将卡尔丹诺公式表示了出来。

    “大家有没有发现，卡尔丹诺公式中，出现了需要给-3开根号的问题，但那时候还没有复数，由此，人们开始对负值开根号的问题起了兴趣，这才有了后来的复数域。从某种程度上说，为了求解一元三次方程，人们又引入了复数的概念。在卡尔丹诺公式出来后没过几年，卡尔丹诺的一位学生费拉里又给出了一元四次方程的求解公式。至此，一二三四次方程的根解式都出现了。”

    “于是人们认为，一元五次方程的求根公式也不远了，却没想到接下来的数百年时间，人们却一直没有找到答案。于是大家开始想办法将这个问题简化，先证明一元五次方程到底有没有根。这事就是大名鼎鼎的数学小王子高斯干的，高斯证明了对于任何一个非零的一元n次复系数方程，都恰好有n个复数根。这个便是代数基本定理，即使一元二次方程的判别式小于零，它也有两个复数根。那么五次方程，就应该有五个根。“

    “既然有根，那就应该有根解式吧，于是人们继续寻找，这个问题，便是由挪威的天才数学家尼尔斯阿贝尔解决的。如果大家不认识阿贝尔是谁，也应该听说过数学界最高奖项之一的阿贝尔奖，就是以他的名字命名的。”

    “阿贝尔并没有给出五次方程的根解式，他反而证明了五次方程不存在根解式。这就很厉害了，在数学界，想要证明一个东西不存在，往往要比证明它存在还要难上许多。”

    “这个阿贝尔，就是我们今天要重点讲的一个人物。阿贝尔1802年出生于挪威，17岁的时候，他就写了一篇论文，内容是他发现了五次方程的根解式。后来他发现这篇论文有几个错误，于是潜心学习，继续修改，四年后，他得出了新的结论，一元五次方程没有根解式。他还推出了一个定理，叫做阿贝尔鲁菲尼定理，但是因为这篇论文太过高深，当时的职业数学家都看不懂，所以一开始也没有引起人们的关注。”

    “阿贝尔的这篇论文还曾经给高斯看过，高斯认为这不过是一个21岁小孩的无理取闹，这就意味着，阿贝尔想要把自己的论文发表出来都很难。幸好阿贝尔还有个朋友叫克雷勒，他创办了一个数学杂志，于是阿贝尔便将这篇论文发表在了这个上面，在之后的几年内，阿贝尔又在很多领域都做出过贡献，但主流数学家都不太接受，他还曾经将自己的论文寄给大名鼎鼎的数学家柯西，结果柯西更加高冷，压根看都不看。阿贝尔27岁那年英年早逝，直到他去世之后，人们才发现，他的论文，篇篇都是经典。”

    “阿贝尔证明五次方程没有根解式的方法，其实就是我们在抽象代数中将要学习的群论，但是他没有系统地提出来，只是利用群论的思想，将这个问题解决。结果没过几年，又出现了一位天才，那就是伽罗瓦，伽罗瓦用同样用群论的思想得出了五次方程不存在根解式，他还给出了对于任意高次方程，在什么情况下有根解式，什么情况下没有根解式。而且伽罗瓦还首次提出了群的概念，开创了现代代数学的先河。”

    “在我个人看来，伽罗瓦的成就在数学史中，足以排在前三。伽罗瓦1811年出生在法国，和阿贝尔类似，他在16岁那年同样以为自己发现了一元五次方程的根解式，但后来又自己证明五次方程不存在根解式。十九岁那年，伽罗瓦投身法国革命，20岁被捕入狱，21岁出狱后，与人决斗身亡，在决斗前三天，伽罗瓦仿佛意识到自己没办法在这次决斗中幸存下来，于是他便奋笔疾书写下一篇论文，这篇论文，便是群论的开端，又被称作伽罗瓦理论。但这篇论文始终没有被数学界所接受，一直到1843年，伽罗瓦去世十一年后，数学家刘维尔发现了这篇论文，将其发表，引起巨大轰动。伽罗瓦理论，终结了数学界四千多年的方程求解史，也开启了群论的开端。“

    “伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。”